1
2013-11-04 09:51:05  异速增长  城市 
原文是:

题目为:

The Origins of Scaling in Cities

作者为:
  1. Luís M. A. Bettencourt

这篇文章给出了城市中超线性规律的一种可能解释。以前曾经读过几遍此文,但是都没有读懂。今天再次阅读,则基本明白了该文的思路。该文的主要想法是城市是收益与成本相互平衡的最优设计产物。

文章可以分为三部分:

1、Scaling的起源
这部分主要根据三个假设:
(1)人口混合假说(Mixing population),该假说认为:平均每个人的产出应该刚好等于得到这种产出的消耗。
首先,Luis假设产出正比于人与人之间的交互。设城市人口为N,面积为A,并假设每个人只能通过与自己临近的人交互。那么,任意一个人所处区域大概有N/A的人(人口密度),这样,城市中总的可能的交互数就是N^2/A;
然而,人口混合假说认为每个人都要与所有其他人交互,于是每个人需要运动A^(1/2)的距离才能与其他人互动,这是交互所花费的成本,即A^(1/2)。
于是交互带来的产出刚好与距离带来的成本平衡,于是就有N^2/A~A^(1/2),整理就得到了一个重要的标度关系:A~N^(2/3)。这个面积与人口之间的2/3关系是与很多实证数据符合的。

进一步,由产出就是由交互产出的,即产出Y正比于总的交互数量,即Y~N^2/A,又知道A~N^(2/3),所以Y=N^(2-2/3)=N^(4/3),即产出与人口的幂律指数是大约4/3~1.333,这比实际观测到的产出与人口之间的幂指数大了不少(世纪的大约为1.15左右)。于是,Luis认为上述方法一定高估了产出。这就需要引入新的假设。

(2)网络增长假说,该假说认为基础设施网络(道路、能源管道、水管等)会随着城市人口的增长而增长。并且该增长满足:基础设施网络的覆盖面积An刚好等于城市的总人口与每个人所拥有空间的平均长度的乘积,翻译成数学语言就是:An~N (N/A)^(1/2)=N^(3/2)/A^(1/2)。我们再把上一假设得到的A~N^(2/3)代入,就得到An~N^(5/6)~A^(5/4)。即基础设施网络覆盖面积随着城市人口呈现5/6次幂增长,而网络的面积增长要慢于城市面积的增长。

于是,我们不难假设城市的总产出Y不是与N^2/A呈正比,而是与N^2/An呈正比的。这也是合理的,因为人们要完成相互作用显然需要通过城市道路完成交通。于是,引入第三条假设:

(3)产出与N^2/An成正比关系,即Y~N^2/An,将An~N^(5/6)代入,就有Y~N^(2-5/6)=N^(7/6),幂指数7/6=1.1667,这与实证数据非常相符。

到此,Luis已经论证完毕城市的产出与人口之间的超线性关系为N^(7/6),且得到一个推论,网络总面积与N呈现5/6次幂,这也是与实证数据符合的。

2、一个具体的网络模型

上面的讨论基于三条基本假设,推导出各种幂律关系。对于城市网络没有具体的要求。接下来,Luis给出了一个具体的网络模型。这个网络如下图所示:

在该模型中,网络是分层次级别的,并且每两层之间刚好形成等比数列的关系,即上一层的长度、截面面积、占地面积、该级别的分支数量刚好是下一层级各个对应变量的b倍。于是,我们要想求出该网络的总长度、占地面积、分支数量就可以通过简单的等比数列求和就行了。于是,Luis计算了两个网络属性,即网络总长度Ln~N^(2/3),和An~N^(5/6)。

接下来,Luis要计算网络上的总耗散。假设基础网络上通行着大小车辆,并且车辆流在整个网络中守恒,再假设每一段耗散正比于该段路的长度除以截面积,于是就得到W~N^(7/6),也就是说耗散的增长与GDP的增长一样快。这是一个很强的结论。

3、求得最优的G

上面的论述焦点集中在幂指数上,而忽略了幂律关系Y=cN^b中的常数项c。Luis还对该常数项进行了讨论。首先,我们引入一个重要的变量G,它是Y与N^2/An之间关系的比例常数,即Y=GN^2/An,或者定义G为:YAn/N^2,也就是人均产出与人均网络面积的乘积。同时假设A=aN^(2/3),其中a=(G/e)^(2/3),这里e为一个常数,即a~G^(2/3)。

然后,通过最大化L=Y-W,同时满足约束条件:A^(1/2)=GN/A,以及An=cN (N/a)^(1/2)这两个约束条件,能得出最优的G满足:G*,以及最优的L*。这两个变量也可以与实证数据比较。

总结来看,整篇文章包含的符号太多,引入的假设也很多,而且很多模棱两可的地方。但是亮点是,各种幂指数与实际复合的很好,特别是最后最优的G*也与实际很吻合。这些都是值得称赞的地方。另外,该模型还给出了很多预言,也可以用来和实际数据比较,这是比较有意思的地方。

2013-11-05 08:44:03
   直接假设大城市里,人口分布从二维空间向三维空间发展是不是也可以理解A~N^(2/3)?

他的一些假设在虚拟世界里不好办啊。
2013-11-06 01:08:44
   是的,有人就说城市是三维空间的。它这个当然很侠义就是指城市了。
你知道我读这篇文章的目的也是在找出它的不足之处,看看随机几何图有没有优势。
2013-11-06 02:38:35
   虽然看不懂,但觉得与我研究的城市基础设施有点关系了
2013-11-06 05:28:30
   为了评论,注册了个帐号。我最近也在看这篇文章。

我有两个问题想请教。

1、这里网络增长假说里面的推导似乎写错了。An=Nd=N(A/N)^(1/D)。而且这部分你忽略了作者提出的可调参数:分形维度H。因为这个H,作者才能给出各种power law指数变动区间从而自圆其说。

2、对于假定(3),将A替换成An,我不理解。前者A是一个面积,而后者An根据定义是一段距离,二者完全不是一个量纲。在什么情况下A=An?
注:作者假定里,必要人类活动的能量消耗或许应为城市的最低产出,即Ymin=GN^2/A,而实际的产出为Y=GN^2/An。

谢谢
2013-11-07 00:23:04
   1、你说的没错,作者是写的一般式,但你会发现,表一中的结果都是让D=2,H=1的。所以,为了论述简便,我就直接写为N(A/N)^(1/2)了。这篇文章的一个大毛病就是用了太多太多的参数,很让人晕。但实际仔细想想,那些参数都是没有必要的。比如这个H,它其实就是讨论了H=1。
2、这个也是我质疑的地方,但是作者在正文论述中,似乎在故意混淆长度和面积,到后面的推导中An其实就是面积了。这一点也不难理解:作者假设公路网是填充在二维空间中的一维网络,所以,网络的总长度就可以近似地理解为总面积了(如果假设每条路的横截面积一样的话)。事实上,在后面的具体网络实例中,作者直接给出了An的计算和ln的计算,就会发现,他们不等,那是因为在具体网络中,横截面积不是常数。所以,这反过来说明了他前面部分的描述(坚定(3))中的是有一定问题的。

Ymin=GN^2/A是没错的,但是这个假设很牵强。我猜他已开始就是认为Y=GN^2/A的,但后来发现与实际数据对不上,才回过头来假设Ymin=GN^2/A,而Y=GN^2/An的。所以Ymin是有点拼凑出来的,而且没有说明具体的含义。

在我看来,这篇文章的毛病很多的,过多的假设、过多的参数。但我估计他得到的结果还是很好的,如指数的吻合以及G的预测,所以还是发Science了。
登录后才可以评论,马上登录
2012-2022 www.swarma.org, all rights reserved