计算士的头脑风暴
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  Eadem Mutata Resurgo!
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2012-10-05 01:01:02  统计  热力学 
最近在陆陆续续读Sornette的Critical Phenomena in Natural Science。这本书的帮助很大,特别是对我这种从来没有正儿八经上过统计物理课的人。

虽然这本书讲的是critical phenomena,但许多地方都是先介绍经典的平衡态,然后再讨论一些极限情况。我想讨论的就是平衡态热力学和重整化群之间的关系。

平衡态热力学的核心就在于配分函数(partition function)的选择。其基本思路是,考虑一大堆粒子,每个粒子可以取不同的能级。最后结论是粒子能级取波尔兹曼分布是最可能的情况(可以算出系统偏离这个“吸引子”的概率随着粒子数量的增多迅速减小)。

重整化的核心在于对刻画粒子间相互作用函数的选择。比如一个spin system L,我把距离很近的spin俩俩合并,得到另外一个spin system L′,再继续俩俩合并,又得到L′′,如此反复。如果我对粒子间相互作用的描述函数选得好,我会发现在序列L, L′, L′′里,系统的某种宏观统计量呈现有规律的变化。具体地说,这个宏观量是被合并的spin个数,也就是观察的scale的函数。重整化的应用范围很宽,离散系统可以用,光滑的欧式几何对象其实也可以用。分形系统可以用,不是分形的系统也可以用,只是效果可能没有那么好。

我的思索是,表面上平衡态热力学和重整化完全是不搭的。比如:

前者考虑的是粒子本身的能级,后者考虑的是粒子彼此间的相互作用。粒子的能级是很不一样的,所以有能级分配的说法,但像spin这样的系统里,所有的粒子和相互作用都是非常规则的,就是一个很大的lattice,根本没有什么能级分配的说法。

前者考虑的是以单个粒子为单位的最大宏观系统概率,后者讲没有什么最大化,却在讨论粒子的合并。

但是,两者其实还是有些联系的。比如都讨论了温度的概念,都涉及了了observation scale的概念(从单个粒子到宏观系统其实也是observation scale的切换)。

怎么才能抓住一个最核心的东西,把两套东西整到一起呢?


2012-10-05 02:31:56
  

我觉得只有从信息论的角度来看重正化群以及粗粒化操作才能把握住这些东西.所以,统计力学里面的东西就两个最关键:一个是尺度变换以及不变性,这是一套全新的在信息论意义上的变换.本质上讲,尺度变换应该是从微观信息过渡到宏观信息的操作,是集合划分到集合元素的过渡,因此,它必然是与具体物理无关的信息论的操作. 其二,所谓的最大熵,波尔兹曼分布的根源其实就是极大似然原理,即我之所以看到这样一种平衡态,是因为我看到这样的平衡态的概率最大,这也可以看作是统计中的自指原理.

所以,统计物理本来就应该是信息论的分支.

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